מבוא לחוגים ומודולים עוזי וישנה 25 באוקטובר 2015
מבוא לחוגים ומודולים מהדורה 1.311 הקדמה. תורת החוגים עשירה בשיטות ורעיונות, וחובקת דוגמאות מכל תחומי המתמטיקה. קורס ראשון בתחום מוגבל, מטבע הדברים, למושגים הפשוטים יותר. אחרי פרק מבוא כללי, המציג חוגים, אידאלים והומומורפיזמים, הפרק השני נותן הצצה לתורת המבנה ועוסק בכמה מחלקות חשובות של חוגים, ובטכניקה היסודית של מיקום ביחס לאידיל ראשוני. הפרק השלישי מוקדש לתחומי שלמות, שהם החוגים החשובים ביותר מנקודת המבט של תורת המספרים והגאומטריה האלגברית. הפרק הרביעי מוקדש לפולינום מעל תחומי שלמות, ובמיוחד מעל שדות. הפרק החמישי הוא מבוא לתורת המודולים, שהם המרחבים שעליהם פועלים החוגים השונים. חוברת זו ערוכה ומסודרת לפי תוכנית הלימודים בקורס 'אלגברה מופשטת 2' לתלמידי מתמטיקה, 88-212, באוניברסיטת בר אילן. הקורס (בהיקף של ארבע שעות הרצאה ושעתיים תרגיל, לאורך סמסטר אחד) הוא קורס שני באלגברה מודרנית (אחרי קורס סמסטריאלי בחבורות), והוא מכסה את היסודות של תורת החוגים, ואת תורת המודולים מעל תחומים ראשיים, עם היישומים של תורה זו לאלגברה לינארית. לצד החוברת הזו, ניתן להעזר גם בחוברת תרגילים השייכת לאותו קורס. החומר מחולק לסעיפים ותת סעיפים, המסודרים כך שמושגים חיוניים יופיעו מוקדם ככל האפשר, תוך שילוב של כמה דוגמאות נחוצות. בכל נושא מובאות ההגדרות והתוצאות העיקריות, כשהן פרושות לתרגילים קצרים ונוחים לעיכול. כל טענות העזר והשיטות הסטנדרטיות נוסחו כתרגילים. המהדורה הארוכה, המונחת לפניכם, כוללת הדרכה מפורטת ולפעמים פתרון מלא לתרגילים רבים, בעיקר אלו שיש להם אופי תאורטי יותר. סדר התרגילים בתוך כל סעיף נבחר בזהירות, כשכל תרגיל מופיע מיד כאשר הונחה התשתית לרעיונות הדרושים כדי לפתור אותו (אך בכפוף לאילוץ המקובל, והמתסכל במידת מה, הקובע שסדר המשפטים בעמוד מוכרח להיות קווי). תרגילים השייכים לאותה מדרגה לוגית מופיעים בסדר יורד של מידת הכלליות והעניין. החידוש, במידה שיש כאן כזה, הוא בהצמדת דרגת קושי לכל תרגיל: תרגילים קלים, מדרגה (*), דורשים בדרך כלל שליטה בהגדרות ותו לא; את רובם של אלה אפשר - ורצוי - לפתור בעל פה, תוך ציון ההגדרה או העובדה הרלוונטית. תרגילים טכניים מורכבים, לא רגילים או סתם קשים סומנו ב (***). שאר התרגילים קיבלו את הציון (**). סימנים נוספים, כמו ב (**+) או (** ), מציינים שהתרגיל עשוי להיות קשה או קל יותר מכפי שנראה במבט ראשון. במספר מקומות הרחבנו מעבר לרמה הנדרשת בקורס. כל התרגילים מנוסחים בלשון זכר, ועם הלומדות הסליחה. אודה לכל מי שיביא לתשומת ליבי שגיאות מתמטיות, השמטות, כפילויות או שגיאות כתיב, כדי שאוכל לתקנן במהדורה הבאה. עוזי וישנה, 9.2015 2
תוכן עניינים 9 חוגים ואידיאלים 1 9.............................. מושגי יסוד 1.1 9....................... איברים של חוגים 1.1.1 10......................... איבר האפס 10......................... קומוטטיביות 10 אברי יחידה.......................... 11 איברים הפיכים........................ 12....................... חוגים עם חילוק 14 מחלקי אפס ואיברים רגולריים................ 15 תחומים ותחומי שלמות.................... 16 אברים נילפוטנטיים...................... 16........................... המאפיין 16........................... תת חוגים 1.1.2 17..................... תת חוגים בלי יחידה 17........................ המר כז והמרכ ז 18...................... יוצרים של תת חוג 19................... חוגים לא אסוציאטיביים 1.1.3 19..................... חוגים אלטרנטיביים 20............................ חוגי לי 21.......................... חוגי ז'ורדן 21 חוגים לא אסוציאטיביים עם חילוק.............. 22.......................... איזוטופיות 23 אידיאלים וחוגי מנה.......................... 1.2 23 אידיאלים חד צדדיים ודו צדדיים............... 1.2.1 24 איחוד וחיתוך......................... 25........................ קבוצת יוצרים 25 אידיאלים אמיתיים...................... 3
תוכן עניינים תוכן עניינים 26 סכום ומכפלה של אידיאלים.................. 1.2.2 26................... סכומים סופיים וכלליים 27............................ מכפלה 28....................... סריג האידיאלים 29........................... מאפסים 31........................... חוגי מנה 1.2.3 31........................ הומומורפיזמים 1.2.4 32............. הומומורפיזמים של חוגים בלי יחידה 32....................... הגרעין והתמונה 33...................... חוגים איזומורפיים 34..................... משפטי האיזומורפיזם 1.2.5 35....................... תת החוג היסודי 35..................... הומומורפיזם ויוצרים 36......................... החוג החופשי 37....................... דוגמאות ובניה של חוגים 1.3 37........................ בניות קלאסיות 1.3.1 37......................... חוג השלמים 37........................... מטריצות 39..................... חוג האנדומורפיזמים 40 פולינומים........................... 41 מכפלה ישרה של חוגים.................... 42..................... סכום ישר של חוגים 42........................... אלגברות 1.3.2 43....................... אלגברות חבורה 43.................... אלגברת הקווטרניונים 44........................ חוגים סדורים 44..................... איחוד על שרשראות 45........................... גבול ישר 46....................... חוגים טופולוגיים 1.3.3 46..................... טורי לורן מעל תחום 47....................... הערכות בדידות 49................... טורי לורן בשני משתנים 51............ טורי חזקות דועכים מעל שדה הערכה 52.......................... גבול הפוך 2 אידיאלים ראשוניים ומקסימליים 55 2.1 אידיאלים מקסימליים......................... 55 2.1.1 קיומם של אידיאלים מקסימליים............... 55 4
תוכן עניינים תוכן עניינים 57..................... אידיאלים מינימליים 57........... אידיאלים מקסימליים של חוגי פונקציות 58 חוגים פשוטים......................... 2.1.2 58 הקשר לאידאלים מקסימליים................. 58................. חוגים פשוטים קומוטטיביים 59 בניה של חוגים פשוטים.................... 59....................... חוגים n פשוטים 60......................... פירוק למכפלה ישרה 2.2 60................... אידיאלים קו מקסימליים 2.2.1 62.................... משפט השאריות הסיני 2.2.2 63......................... אידמפוטנטים 2.2.3 64............ אידמפוטנטים מרכזיים בתורת המבנה 64 פירוק פירס.......................... 65....................... חוגים בוליאניים 66............................ חוגים מקומיים 2.3 67 שדה המספרים הממשיים................... 73 מסננים וחוגים בוליאניים................... 74 אידיאלים ראשוניים.......................... 2.4 74........................ חוגים ראשוניים 2.4.1 76 אידיאלים ראשוניים...................... 2.4.2 78 רדיקלים............................ 2.4.3 78......................... מיקום ושדה השברים 2.5 78......................... מיקום מרכזי 2.5.1 80 הכללה למקרה הלא רגולרי.................. 80.................. האוניברסליות של המיקום 81.................... האידיאלים של S 1 R 83.................... חוג השברים הטוטאלי 83 מיקום באידיאל ראשוני.................... 2.5.2 84......................... שדה השברים 2.5.3 3 תחומי שלמות 87 3.1 חוגי שלמים ריבועיים......................... 87 האינוולוציה, העקבה והנורמה................ 88 3.2 איברים ראשוניים ואי פריקים..................... 89 3.2.1 יחס החילוק.......................... 89 תאור לפי אידיאלים..................... 90 3.2.2 איברים הפיכים........................ 91 איברים הפיכים של. O D.................. 91 5
תוכן עניינים תוכן עניינים 92...................... איברים אי פריקים 3.2.3 93....................... איברים ראשוניים 3.2.4 94............................ פירוק לגורמים 3.3 94........................ חוגים אטומיים 3.3.1 96 חוגים נותריים......................... 3.3.2 98..................... תחומי פריקות יחידה 3.3.3 99 תחומים ראשיים........................ 3.3.4 100 מחלק משותף מקסימלי.................... 101.......................... תחומי gcd 102.......................... תחומי בזו 104 כפולה משותפת מינימלית.......................................... 107 חוגים אוקלידיים 3.3.5 109 אוקלידיות של חוגים סמוכים................. אוקלידיות של חוגי שלמים.................. 109 הראשוניים של 1] Z[................... 111 112 שימושים נוספים בתורת המספרים.............. 112................... תנאי הכרחי לאוקלידיות 113 קוואזי אוקלידיות....................... 115 פולינומים ושדות 4 115......................... מבוא לתורת השדות 4.1 115 ממד של אלגברות....................... 4.1.1...................... 116 הפולינום המינימלי 4.1.2 117 שורשים ושדה מפצל...................... 4.1.3 117........................ סיפוח שורשים 118 פירוק של פולינומים.......................... 4.2 118 שורשים רציונליים....................... 4.2.1 119 קריטריון אייזנשטיין...................... 4.2.2........................ 120 הלמה של גאוס 4.2.3 120...................... תכולה של פולינום 121 הלמה של גאוס........................ 122 פירוק פולינומים מעל תחום פריקות יחידה.......... 123 מודולים 5 123................................. מבוא 5.1 123....................... הגדרה ודוגמאות 5.1.1 125.......................... מושגי יסוד 5.1.2 125......................... תת מודולים 6
תוכן עניינים תוכן עניינים 126.......................... מודול מנה 126.................... סכום של תת מודולים 126................... מכפלה ישרה וסכום ישר 127........................ הומומורפיזמים 128 אלגברה לינארית של מודולים................. 5.1.3 128 מודולים חופשיים....................... 129.................... אינווריאנטיות הדרגה 130....................... מודולים ציקליים 132............................. פיתול 5.1.4 133 מודול נאמן.......................... 134 מודולים מעל תחום ראשי....................... 5.2.................. 134 מטריצות מעל תחום ראשי 5.2.1 135................. הצורה האלכסונית הקנונית 136.................. יחידוּת הצורה האלכסונית 137.................... מודולים נוצרים סופית 5.2.2 138....................... מטריצת היחסים 139 מטריצות יחסים דומות....................................... 140 פירוק למרכיבים ציקליים 5.2.3 141........... מיון החבורות האבליות הנוצרות סופית 142................ צורות קנוניות של מטריצות מעל שדה 5.3.............. 142 מרחב וקטורי כמודול לפי מטריצה 5.3.1....................... 143 מחלקות צמידות 5.3.2....................... 144 הצורה הרציונלית 5.3.3 145................ המטריצה המלווה של פולינום.......................... 146 צורת ז'ורדן 5.3.4 7
תוכן עניינים תוכן עניינים 8
פרק 1 חוגים ואידיאלים הפרק הראשון עוסק במושגי היסוד של תורת החוגים: המבנים האלגבריים חוג בלי יחידה וחוג; האברים המיוחדים בחוג בלי יחידה; תת חוגים, אידיאלים חד צדדיים ודו צדדיים; הומומורפיזמים וחוגי מנה; ומציג גם רשימה ארוכה של דוגמאות ודרכים לבנות חוגים חדשים מחוגים קיימים. 1.1 מושגי יסוד בסעיף זה נגדיר חוגים, שהם האובייקטים המרכזיים של הקורס; נציג כמה תכונות פשוטות של אברים בחוג; וניתן שמות הולמים לחוגים שאבריהם מפגינים התנהגות מעניינת. הגדרה 1.1.1 מערכת מתמטית,+ ;0 ;R (שבה הפעולות,+ נקראת 'חיבור' ו'כפל' בהתאמה) נקראת חוג בלי יחידה אם + ;0 ;R חבורה אבלית, ופעולת הכפל היא אסוציאטיבית ודיסטריבוטיבית (מימין ומשמאל) ביחס לחיבור. הגדרה 1.1.2 אם R חוג בלי יחידה, החבורה + ;0 ;R נקראת החבורה החיבורית של R. להלן כמה דוגמאות מוכרות: חוג המספרים השלמים; כל שדה, כמו הרציונליים Q או הממשיים R; והחוג של מטריצות מעל שדה, כמו (Q) M. n 1.1.1 איברים של חוגים במבוא לתורת החוגים מגדירים חבורה למחצה כמערכת מתמטית שיש לה פעולה אסוציאטיבית. בחבורה למחצה יכולים להיות אברי יחידה מימין ומשמאל, ואיבר יחידה (דו צדדי). חבורה למחצה שיש בה איבר יחידה נקראת מונויד. במונויד, איבר 9
1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגים ואידיאלים יכול להיות הפיך מימין ומשאל, או הפיך (משני הצדדים). מונויד שבו כל האיברים הפיכים נקרא חבורה. גם בתורת החוגים, הצעד הראשון הוא לזהות כמה איברים מיוחדים, כדי שנוכל להגדיר מהו חוג (''חוג בלי יחידה'' שיש לו יחידה). משם נתקדם ללמוד איברים יותר מעניינים, שלחלקם יש מקבילה בתורת המונוידים. מן התכונות האלה מתקבלות כמה משפחות מעניינות של חוגים; הדוגמא הידועה ביותר היא שדה, שאינו אלא חוג קומוטטיבי שבו כל האברים הפיכים. איבר האפס תרגיל (*) 1.1.3 האיבר 0 בחוג מקיים = 0 0 x x = 0 לכל ;x R ותכונה זו מאפיינת אותו (כלומר, אם z x = z לכל x, אז = 0 z). לכן הוא נקרא אבר האפס, בהא הידיעה: יש רק אחד כזה. הדרכה. = 0 0 0. + קומוטטיביות הגדרה 1.1.4 אברים,a b בחוג הם מתחלפים אם.ab = ba אם כל האברים בחוג מתחלפים זה עם זה, הוא נקרא חוג קומוטטיבי. אברי יחידה הגדרה 1.1.5 יהי R חוג בלי יחידה. איבר e R הוא יחידה מימין אם xe = x לכל x, R ויחידה משמאל אם ex = x לכל x. R אם e יחידה גם מימין וגם משמאל, הוא נקרא איבר יחידה. המינוח 'חוג בלי יחידה' אינו בא לייחס למערכת המתמטית הזו תכונה שלילית כלשהי, אלא רק לומר שאיבר היחידה נעדר מן ההגדרה. מיד נראה שלחוג בלי יחידה יכול שיהיה איבר יחידה, ובמקרה כזה נקרא לו חוג. דוגמא 1.1.6 חוג השלמים Z הוא 'חוג בלי יחידה', שיש בו איבר יחידה: המספר 1. לעומת זאת, 2Z הוא חוג בלי יחידה, שאין בו איבר כזה. תרגיל (*) 1.1.7 אם יש בחוג יחידה מימין e ויחידה משמאל e אז יש בחוג איבר יחידה. הדרכה. e.e = e e = תרגיל (*) 1.1.8 היחידה יחידה (אם היא קיימת). כלומר, בחוג לא יכולים להיות שני אברי יחידה. הדרכה. קל וחומר מתרגיל 1.1.7. 10
חוגים ואידיאלים 1.1. מושגי יסוד פרק 1. יש יחידה מימין איבר יחידה יש יש יחידה משמאל יש אידמפוטנטים איבר היחידה מוגדר לפי האינטרקציה שלו עם אברים אחרים; אבל יש לו גם תכונה פנימית: = 1 2 1. כל יחידה מימין או משמאל מקיימת את השוויון הזה. בעקבות זאת, כל איבר e R המקיים e 2 = e נקרא אידמפוטנט. הדיאגרמה משמאל מציגה היררכיה גסה של טיפוסי חוגים. לפי תרגיל 1.1.7, אם יש בחוג איבר יחידה, אז אין בו יחידות נספות. לעומת זאת, יכולים להיות בחוג אידמפוטנטים רבים; נעסוק באברים כאלה בתת סעיף 2.2.3. הגדרה 1.1.9 חוג בלי יחידה שיש לו איבר יחידה נקרא חוג (ולפעמים, לשם הדגשה, חוג עם יחידה). כאשר יש איבר יחידה, הוא יחיד (תרגיל 1.1.8), ולכן נסמן את איבר היחידה בסימון השמור 1. כשיש סכנה לבלבול, מסמנים את היחידה של R בסימון 1. R אפשר לפתח חלקים נכבדים מן התאוריה בקורס הזה עבור חוגים בלי יחידה; אלא שלרוב הדוגמאות החשובות יש יחידה, ולכן נתרכז בחוגים כאלה. ראו גם תרגילים 1.2.23-1.2.24, 1.1.37, המדגימים שתכונות מסויימות מסוגלות לייצר איבר יחידה; ותרגיל 1.2.76 (עמ' 33), המלמד שכל חוג בלי יחידה אפשר להרחיב לכדי חוג עם יחידה. תרגיל (**) 1.1.10 אם 1 R = 0 R (ובאופן כללי יותר, אם איבר האפס הוא איבר יחידה ימני או שמאלי) אז {0} = R; זהו חוג האפס. כלומר, בכל חוג שאינו אפס, איברי האפס והיחידה שונים. חוג בלי יחידה A 0 הוא טריוויאלי אם = 0 0,A 2 כלומר לכל x, y A 0 מתקיים = 0.xy בחוג כזה מוגדרת למעשה רק החבורה החיבורית, ומאידך על כל חבורה אבלית אפשר להגדיר מבנה של חוג טריוויאלי. לכן מקומם של חוגים טריוויאליים אינו בקורס על תורת החוגים, אלא בקורס בתורת החבורות האבליות. תרגיל (*) 1.1.11 חוג עם יחידה אינו טריוויאלי, אלא אם הוא חוג האפס. דוגמא 1.1.12 דוגמאות לחוגים קומוטטיביים: Z n = Z/nZ,C,R,Q,Z (השאריות מודולו n, עם החיבור והכפל מודולו n). דוגמאות לחוגים לא קומוטטיביים: (Q) M, n.m n (R) איברים הפיכים האמור בסעיף זה מתייחס למונויד הכפלי 1,,R, בלי קשר לפעולת החיבור, והוא תקף בכל מונויד. 11
1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגים ואידיאלים הגדרה 1.1.13 יהי R חוג. איבר x R הוא הפיך מימין אם קיים איבר y R כך ש = 1 xy (במקרה כזה y נקרא 'הפכי מימין' של x), והפיך משמאל אם קיים z כך ש = 1 zx (z הוא 'הפכי משמאל' של x). האיבר x הוא הפיך אם קיים y כך ש = 1 yx.xy = אם איבר הפיך, אז הוא בוודאי הפיך מימין ומשמאל. בחוג קומוטטיבי כל המושגים האלה מתלכדים, אבל באופן כללי האפשרויות פתוחות: איבר יכול להיות לא הפיך מימין וגם לא הפיך משמאל; הוא יכול להיות הפיך מימין אבל לא משמאל, או להיפך; ויכולים להיות לו הפכיים ימניים רבים או הפכיים שמאליים רבים. בתרגיל 1.3.23 (עמ' 39) ניתן דוגמא לאיבר הפיך משמאל אבל לא מימין (ולהיפך). עם זאת: תרגיל (*) 1.1.14 אם x הפיך מימין ומשמאל אז הוא הפיך, ויש לו הפכי יחיד. הערה. הטענה אינה טריוויאלית משום שההנחה היא שקיימים,y z כך ש 1 = xz,yx = אבל א פריורי איננו יודעים ש z y. = לכן, אם x הפיך, אפשר לסמן את ההפכי שלו בסימון 1 x. תרגיל (*) 1.1.15 אם x הפיך אז גם 1 x הפיך ו.(x 1 ) 1 = x תרגיל (*) 1.1.16 אם,x y הפיכים, אז גם xy הפיך. תרגיל (**) 1.1.17 בחוג קומוטטיבי, אם xy הפיך אז גם,x y הפיכים. הערה. טענה זו נכונה לפעמים גם בחוגים לא קומוטטיביים (למשל בחוגי מטריצות מעל שדה), אבל לא באופן כללי: ראו תרגיל 1.3.23 (עמ' 39). הגדרה 1.1.18 מסמנים ב R את אוסף האברים ההפיכים של R; זוהי חבורת ההפיכים של R. תרגיל (**) 1.1.19 לכל חוג R R, היא אכן חבורה. חוגים עם חילוק הגדרה 1.1.20 חוג A שבו פעולות הכפל מימין ומשמאל l a : x ax ומימין r a : x xa הפיכות (כפונקציות (A A לכל 0 a, נקרא חוג עם חילוק. תרגיל (+*) 1.1.21 התכונות הבאות שקולות עבור חוג A:.a הוא חד חד ערכי לכל 0 l a.1.a הוא חד חד ערכי לכל 0 r a.2 3. A הוא תחום (היינו אין בו מחלקי אפס). 12
חוגים ואידיאלים 1.1. מושגי יסוד פרק 1. תרגיל (+**) 1.1.22 התכונות הבאות שקולות עבור חוג A (עם יחידה):.a הוא על לכל 0 l a.1.a הפיך לכל 0 l a.2 3. כל איבר שונה מאפס של A הוא הפיך מימין. 4. כל איבר שונה מאפס של A הוא הפיך. 5. A הוא חוג עם חילוק. הדרכה. :(1) (2) ברור. :(3) (1) יהי 0,a אז לפי ההנחה יש a כך ש 1 = ) a(a.aa = l :(4) (3) יהי 0,a אז לפי ההנחה יש 0 a כך ש 1 =,aa ויש a כך ש 1 = a ;a כעת a = aa a = a ולכן 1 a.a = :(5) (4) לכל 0,a l a 1 l a = l al a 1 = 1 ו 1 = 1 a.r a 1r a = r ar :(2) (5) ברור. תרגיל 1.1.23 ( ***) התכונות הבאות שקולות עבור חוג בלי יחידה 0 0 A:.a הוא על לכל 0 l a.1.a הפיך לכל 0 l a.2 A 0 3. הוא חוג עם יחידה, עם חילוק. הדרכה. :(1) (3) ברור. :(2) (1) לפי ההנחה ar = l a (R) = R לכל 0.a נניח ש 0 b,a, אז,abR = ar = R ולכן 0.ab הוכחנו ש R תחום, וזה מספיק לפי תרגיל 1.1.21. (2) (3): מכיוון שכל אופרטורי הכפל משמאל חד חד ערכיים, A 0 הוא תחום. לפי ההנחה a. l a(a 0 ) = aa 0 מכאן, לפי תרגיל 1.2.24, שיש ב A 0 איבר יחידה. כעת אפשר ליישם את הגרירה (2) (5) בתרגיל 1.1.22. תרגיל (*) 1.1.24 A הוא חוג עם חילוק אם ורק אם יש ב A פתרון יחיד x לכל משוואה ax = b או xa = b שבה 0.a תרגיל (**) 1.1.25 הוכח, בחוג עם חילוק R, את זהות :Hua לכל,x, y R אם 0 y ו 1 y x 0, אז מתקיים (x 1 + (y 1 x) 1 ) 1 = x xyx. תרגיל (**+) 1.1.26 אם לכל 0 a קיים x R כך ש 1 =,xax אז R הוא חוג עם חילוק. (ראה גם תרגיל תרגיל 2.1.33 (עמ' 60).) 13
1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגים ואידיאלים הגדרה 1.1.27 שדה הוא חוג קומוטטיבי עם חילוק. אנו מכירים שדות רבים: C R, Q, או Z p כאשר p ראשוני (באלה נטפל בזהירות בהמשך). לעומת זאת, בניה של חוג עם חילוק שאינו שדה היתה אתגר לא פשוט, ורק ב 1843 מצא ויליאם רואן המילטון את הדוגמא הראשונה (ראו תת סעיף 1.3.2). גם את הדוגמא הזו נציג בהמשך. חוגים עם חילוק דומים לשדות, בכך שאפשר לפתח מעליהם אלגברה לינארית: אפשר להגדיר מעליהם מרחבים וקטוריים, למרחב וקטורי מעל חוג עם חילוק יש בסיס, יש ממד מוגדר היטב, אפשר לייצג העתקות לינאריות כמטריצות, אפשר לדרג מטריצות בפעולות אלמנטריות, וכו'. חסרון בולט לתאוריה הזו הוא בכך שאין דטרמיננטה. מעל שדה, הדטרמיננטה היא פונקציה כפלית F (.det : GL n F) תכונה זו אינה ניתנת להכללה: מעל חוג עם חילוק הדטרמיננטה המוגדרת לפי סכום מתחלף של המכפלות על אלכסונים מוכללים אינה כפלית. עם זאת יש הומומורפיזם חלש יותר, R/,GL n (R) R הנקרא דטרמיננטת דודונה.(Dieudonné) מחלקי אפס ואיברים רגולריים הגדרה 1.1.28 אם 0 z z, מקיימים = 0,zz אז z נקרא מחלק אפס שמאלי, ו z מחלק אפס ימני. איבר שונה מאפס שאינו מחלק אפס שמאלי הוא רגולרי משמאל, ואיבר שאינו מחלק אפס ימני הוא רגולרי מימין. איבר שהוא רגולרי גם מימין וגם משמאל נקרא רגולרי. תרגיל (*) 1.1.29 אם z רגולרי משמאל אז הוא ניתן לצמצום משמאל: מ = zx.x = x נובע zx תרגיל (**) 1.1.30 נניח ש z הוא מחלק אפס שמאלי. אז לכל xz x, R מחלק אפס שמאלי אלא אם = 0.xz תרגיל (**) 1.1.31 קבוצת האברים הרגולריים של R סגורה לכפל. תרגיל (+**) 1.1.32 יהיו R חוג ו R a. נסמן ב l a את פעולת הכפל משמאל.x xa את פעולת הכפל מימין r a וב,x ax 1. a l חד חד ערכי אם ורק אם a רגולרי משמאל. 2. a l על אם ורק אם a הפיך מימין. הדרכה. לחוג יש איבר יחידה..3 אם l a על אז r a חד חד ערכי. 4. אם a רגולרי משמאל והפיך מימין, אז הוא הפיך. הדרכה. = 0 (1 a.a(a 14
חוגים ואידיאלים 1.1. מושגי יסוד פרק 1..5 מארבעת התנאים " a l חד חד ערכי'', " a l על'', " a r חד חד ערכי'', " a r על'' אפשר לכאורה להרכיב 2 4 הנחות על a. הראה שהן מצטמצמות למעשה ל 6 האפשרויות הבאות (נוסף על קבוצת ההנחות הריקה): הפיך הפיך מימין רגולרי הפיך משמאל רגולרי משמאל רגולרי מימין מכיוון שמחלקי אפס מרחיקים את החוג מלהיות שדה, שהוא החוג ה'מוצלח' ביותר, חשוב לנו להכיר חוגים שבהם יש הרבה אברים רגולריים. תרגיל (+*) 1.1.33 אם כל האברים של R רגולריים משמאל, אז כולם רגולריים גם מימין. תחומים ותחומי שלמות הגדרה 1.1.34 חוג שאין בו מחלקי אפס נקרא תחום. חוג קומוטטיבי בלי מחלקי אפס נקרא תחום שלמות. טענה 1.1.35 בתחום מתקיימות תכונת הצמצום מימין (כלומר, מ xy = x y עם 0 y נובע x x); = ותכונת הצמצום משמאל. תרגיל (*) 1.1.36 חוג עם חילוק הוא תחום. שדה חוג עם חילוק תחום שלמות תחום בפי שהסברנו בסעיף הראשון, אנו עוסקים לאורך כל הקורס בחוגים עם יחידה. בכמה מקרים אפשר לקבל את היחידה בחינם, בלי שנצטרך להניח את קיומה מראש. תרגיל (*) 1.1.37 אידמפוטנט בתחום בלי יחידה הוא איבר (ה)יחידה. הדרכה. הגדרנו תחום בהגדרה.1.1.34 גם ללא איבר יחידה, = 0 a e(a ea) = ea e 2 גורר ea = a לכל,a וכך גם מימין. הערה. בתחום עם יחידה אין אידמפוטנטים לא טריוויאליים בגלל = 0 (e 1)e. תרגיל (*) 1.1.38 בתחום, כל איבר הפיך משמאל הוא הפיך. הדרכה. אם = 1 xy אז.yx ולכן = 1 (yx) 2 = yxyx = yx תרגיל (**) 1.1.39 כל תחום סופי הוא חוג עם חילוק. הדרכה. כל מונויד סופי עם צמצום הוא חבורה. 15
1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגים ואידיאלים אברים נילפוטנטיים הגדרה 1.1.40 איבר a R הוא נילפוטנטי אם קיים 1 n כך ש 0 = n.a תרגיל (*) 1.1.41 כל איבר נילפוטנטי (שונה מאפס) הוא מחלק אפס. תרגיל (**) 1.1.42 בחוג קומוטטיבי, אם a נילפוטנטי אז לכל x גם ax נילפוטנטי. תן דוגמא נגדית לטענה זו בחוג שאינו קומוטטיבי. תרגיל (**) 1.1.43 בחוג קומוטטיבי, סכום של איברים נילפוטנטיים הוא נילפוטנטי. תרגיל (**) 1.1.44 אם a R נילפוטנטי אז a 1 הפיך. המאפיין 1, אם קיים כזה, } + {{ + 1 } הגדרה 1.1.45 יהי R חוג. המספר > 0 n הקטן ביותר כך ש = 0 n נקרא המאפיין של R. אם לא קיים n כזה, אומרים שהמאפיין הוא אפס. דוגמא 1.1.46 המאפיין של Z n הוא n, והמאפיין של Z הוא 0. לכל.x R } x + {{ + x } תרגיל (*) 1.1.47 אם n הוא המאפיין של R, אז = 0 n תרגיל (**) 1.1.48 המאפיין של תחום הוא אפס או מספר ראשוני. 1.1.2 תת חוגים הגדרה 1.1.49 יהי R חוג. תת קבוצה של R נקראת תת חוג אם S סגורה לחיבור, חיסור וכפל, וכוללת את איבר היחידה של R. תרגיל (**) 1.1.50 אם S R תת חוג, אז S הוא חוג בזכות עצמו, עם הפעולות המצומצמות מ R. תרגיל (*) 1.1.51 תת חוג של חוג קומוטטיבי הוא חוג קומוטטיבי. תרגיל (**) 1.1.52 תת חוג של תחום הוא תחום. תת חוג של תחום שלמות הוא תחום שלמות. תרגיל (**) 1.1.53 תן דוגמא לתת חוג של שדה שאינו שדה. 16
חוגים ואידיאלים 1.1. מושגי יסוד פרק 1. הסיבה לתופעה האחרונה היא הרגישות של תכונת ההפיכות לחוג: בהחלט יתכן ש R a S יהיה הפיך ב R אבל לא ב S (משום ש R a 1 אבל a. 1 S שימו לב. לסימון 1 a יש משמעות רק כאשר ברור מההקשר על איזה חוג R מדובר, שבו a הפיך; באופן כללי, איננו יכולים לבטא את הטענה 'a אינו הפיך ב S ' בסימון a!) 1 S תרגיל 1.1.54 ( ***) תהי Λ משפחה של תת חוגים של חוג R. החיתוך S Λ S הוא תת חוג (השווה לתרגיל 1.1.58). הראה שגם תת חוגים בלי יחידה הגדרה 1.1.55 יהי R חוג בלי יחידה. תת קבוצה S R הסגורה לפעולות החיבור, החיסור והכפל נקראת תת חוג בלי יחידה של R. דוגמא 1.1.56 חוג (עם יחידה) S עשוי להיות ) ( תת חוג ) בלי ( יחידה של חוג (עם יחידה) 0. במקרה כזה S אינו 0 0 0 אחר R, בלי להכיל את איבר היחידה שלו: תת חוג של R, משום שאין להם אותו איבר יחידה. תרגיל (**) 1.1.57 לגבי כל אחד מן הבאים בדוק שהוא חוג בלי יחידה; בדוק האם יש לו איבר יחידה; לגבי כל הכלה (לרבות אלו שאינן מפורשות) קבע האם מדובר בתת חוג: ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 ( ). כרגיל, אין מניעה לכך ש R או S יהיו חוגים (עם יחידה). תרגיל 1.1.58 ( ***) תהי Λ משפחה של תת חוגים בלי יחידה של חוג בלי יחידה S Λ הוא תת חוג בלי יחידה. S הראה שגם החיתוך R. המר כז והמרכ ז הגדרה 1.1.59 יהי R חוג. המר כז של R הוא xz}.z(r) = {z R : x R : zx = תרגיל (+*) 1.1.60 הראה שהמרכז של חוג הוא תת חוג שלו. תרגיל (**) 1.1.61 הוכח שהמר כז של חוג R הוא תת חוג מלא, כלומר, שאם איבר Z(R) α הוא הפיך ב R, אז הוא הפיך כבר ב ( Z(R. הדרכה. לכל x, R.α 1 ומכאן ש ( Z(R,α 1 x xα 1 = α 1 (xα αx)α 1 = 0 17
1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגים ואידיאלים בדומה לזה אפשר להגדיר את המרכ ז: הגדרה 1.1.62 תהי A R תת קבוצה של חוג. המרכ ז של A הוא C R (A) = {x R : a A : ax = xa}. תרגיל (**) 1.1.63 הראה שהמרכז של כל תת קבוצה הוא תת חוג. תרגיל (**) 1.1.64.1 הראה שאם A A אז (A).C R (A ) C R.2 הראה שלכל קבוצה.A C R (C R (A)),A.3 הסק ש ( A ).C R (C R (C R (A))) = C R יוצרים של תת חוג יש שתי דרכים יעילות לתאר תת חוג: דרך אחת היא על ידי משוואות המגדירות את אבריו (למשל, תת החוג של המטריצות המשולשיות עליונות, בתוך חוג המטריצות, מוגדר על ידי האילוצים = 0 ij a לכל.(i > j דרך שניה, כמו בחבורות, היא על ידי קבוצת יוצרים. יהיו R 0 R חוג ותת חוג, ותהי X קבוצה שאבריה מתחלפים עם אברי R. 0 הגדרה 1.1.65 תת החוג הנוצר (מעל R) 0 על ידי X הוא חיתוך כל תת החוגים S R המכילים את R 0 ואת X. מסמנים תת חוג זה בסימון [X] R. 0 אם R, 0 [X] = R אומרים ש R נוצר על ידי.X אם הקבוצה } k X = {a 1,..., a סופית, מסמנים ] k.r 0 [X] = R 0 [a 1,..., a במקרה זה אומרים ש R נוצר סופית מעל R. 0 תרגיל (*) 1.1.66 תת החוג הנוצר על ידי X הוא תת החוג הקטן ביותר (ביחס להכלה) בין כל תת החוגים המכילים את R 0 ואת X. תרגיל (**) 1.1.67 נניח ש R חוג קומוטטיבי (די בכך ש ( Z(R a). אז = [a] R 0.{α 0 + + α n a n : α 0,..., α n R 0 } תרגיל (***) 1.1.68 מצא קבוצת יוצרים של Q מעל Z. הראה שאין קבוצת יוצרים סופית כזו. מצא קבוצת יוצרים מינימלית (כלומר, כזו שאין לה תת קבוצה אמיתית היוצרת בעצמה.) 18
חוגים ואידיאלים 1.1. מושגי יסוד פרק 1. 1.1.3 חוגים לא אסוציאטיביים החוגים שהגדרנו בסעיף הראשון, ושנלמד בכל שאר הקורס, מקיימים את כונהת האסוציאטיביות של הכפל. אם מוותרים על האסוציאטיביות של הכפל התאוריה נעשית כללית מדי, ובדרך כלל אינה מעניינת. עם זאת החלפת האסוציאטיביות בהנחות אחרות מולידה כמה מערכות חשובות. חוג לא אסוציאטיבי הוא מבנה אלגברי עם שתי פעולות, חיבור וכפל, המקיים את האקסיומות המגדירות חוג למעט אולי האסוציאטיביות של הכפל, וקיומו של איבר היחידה. למערכות כאלה יש חשיבות רבה בתחומים שונים של המתמטיקה. אי אסוציאטיביות משמיטה מן התאוריה עובדות שאנו לוקחים כמובנות מאליהן: Ra אינו בהכרח אידיאל שמאלי, איבר הפיך מימין ומשמאל אינו בהכרח הפיך, סכום של אידאלים נילפוטנטים אינו בהכרח נילפוטנטי, ועוד. החוגים שלנו ישארו אסוציאטיביים בכל הסעיפים האחרים של החוברת. כדי להבדיל את פעולת הכפל בחוג לא אסוציאטיבי מן הכפל האסוציאטיבי, משתמשים לפעמים בסמונים אחרים, כגון [b a, b,a], וכדומה. הגדרה 1.1.69 בחוג לא אסוציאטיבי,R מגדירים a(bc) ;(a, b, c) = (ab)c ביטוי זה הוא האסוציאטור של.a, b, c תרגיל (*) 1.1.70 חוג R הוא אסוציאטיבי אם הוא מקיים את הזהות = 0 (c,a).,b הגדרה 1.1.71 המר כז של חוג לא אסוציאטיבי A הוא אוסף האברים a המקיימים = (A,a),A.(A תת חוג של (זהו (A, a, A) = (A, A, a) = [a, A] = 0 חוגים אלטרנטיביים הגדרה 1.1.72 חוג נקרא אלטרנטיבי אם הוא מקיים את הזהויות = 0 (b,a),a (b =,a),b (אפשר להכליל ולהגדיר חוג אלטרנטיבי שמאלי או ימני). תרגיל (*) 1.1.73 כל חוג אסוציאטיבי הוא אלטרנטיבי. תרגיל (*) 1.1.74 בחוג אלטרנטיבי, ) 3 (x σ1, x σ2, x σ3 ) = sgn(σ)(x 1, x 2, x (מכאן שמן של האלגברות האלה). חוג המטריצות מעל חוג לא אסוציאטיבי מוגדר באותה דרך שבה מגדירים מטריצות מעל חוג אסוציאטיבי (הגדרה 1.3.4). תרגיל (**) 1.1.75 אם חוג המטריצות (A) M 2 הוא אלטרנטיבי משמאל, אז A מוכרח להיות חוג אסוציאטיבי. 19
1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגים ואידיאלים תרגיל (+***) 1.1.76 (משפט ארטין) בחוג אלטרנטיבי, כל תת חוג הנוצר על ידי שני אברים הוא אסוציאטיבי. הגדרה 1.1.77 חוג לא אסוציאטיבי, שפעולת הכפל שלו b] (a, b) [a, מקיימת a] [a, b] = [b, ואת זהות יעקובי = 0 b],[[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], נקרא חוג לי. חוגי לי תרגיל (**) 1.1.78 יהי R חוג אסוציאטיבי. החוג R מוגדר כקבוצה R עם אותה פעולת חיבור, ופעולת הכפל,a]. [b = ab ba הראה ש R הוא חוג לי (לפי משפט פואנקרה בירקהוף ויט, כל חוג לי מוכל בחוג מהצורה R). תרגיל (**) 1.1.79 מצא זהות מהצורה a] [[a, b], [c, d]] = [[[?,?], a], b]+[[[?,?], b], המתקיימת בכל חוג לי. תרגיל (**) 1.1.80 בדוק את הזהות [[[x 1, x 2 ], x 3 ], x 4 ] + [[[x 4, x 3 ], x 2 ], x 1 ] + [[[x 3, x 4 ], x 1 ], x 2 ] + [[[x 2, x 1 ], x 4 ], x 3 ] = 0. תרגיל (**) 1.1.81 בדוק את הזהות 4 σ i [[[[x 5, x 4 ], x 3 ], x 2 ] [[[x 5, x 2 ], x 4 ], x 3 ] [[[x 5, x 3 ], x 2 ], x 4 ], x 1 ] = 0 i=0 כאשר σ פועל על המשתנים x 1,..., x 5 באופן ציקלי, i+1.x i x תרגיל (***) 1.1.82 5.6.10) ex. (Magnus, Karrass and Solitar, Combinatorial Group Theory ; תהי X 1 קבוצה סדורה. הקבוצה X 2 מוגדרת כקבוצת הזוגות x],x, y X 1 ) [y,.y > y ו x = x או x > x אם ורק אם [y, x] > [y, x ] עם יחס הסדר,(y > x הסדר מורחב ל X 1 X 2 לפי הקביעה שכל איבר ב X 2 גדול מכל איבר ב X. 1 יהי 3.n אברי הקבוצה X n הם האברים מהצורה w] [[u, v], כאשר,u X i,i + j + k = n,[u, v] X i+j,w X k,v X j ו v.[u, v] > w הסדר על X n מוגדר כמקודם ]) v [u, v] > [u, אם v v > או v v = ו u ;(u > ומומשך לכל X 1 X n על ידי הקביעה שכל איבר ב X n גדול מכל איבר בקבוצות הקודמות. הוכח שהסדר על X n הוא לינארי. (הקבוצה X n היא בסיס ל"אלגברת לי החופשית הנוצרת על ידי X", 1 שלא נגדיר כאן.) 20
חוגים ואידיאלים 1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגי ז'ורדן הגדרה 1.1.83 חוג לא אסוציאטיבי שבו 2 הפיך, שפעולת הכפל שלו,a) (b a b מקיימת a b = b a ואת זהות ז'ורדן a)),(a b) (a a) = a (b (a נקרא חוג ז'ורדן. תרגיל (**) 1.1.84 יהי R חוג אסוציאטיבי. החוג + R מוגדר כקבוצה R עם אותה פעולת חיבור, ופעולת הכפל a. b = ab + ba הראה ש + R הוא חוג ז'ורדן. תרגיל (***) 1.1.85 לכל חוג אלטרנטיבי R + R, הוא חוג ז'ורדן. חוגים לא אסוציאטיביים עם חילוק חוג לא אסוציאטיבי A (לאו דווקא עם יחידה) נקרא חוג עם חילוק אם הפעולות.a לכל 0 (A A הפיכות (כאופרטורים לינאריים r a : x ו xa l a : x ax תרגיל (*) 1.1.86 יהי A חוג לא אסוציאטיבית. התכונות הבאות שקולות:.1 כל l a חד חד ערכי,.2 כל r a חד חד ערכי, 3. A הוא תחום (כלומר אין בו מחלקי אפס). הדיאגרמה הבאה מציגה תכונות אפשריות של חוג לא אסוציאטיבי (כשנאמר ''כל a'' הכוונה לכל 0 a), עם הקשרים הלוגיים ביניהן. כל ההגדרות מתלכדות במקרה האסוציאטיבי אל ההגדרה של חוג עם חילוק (זה מוכח בתרגילים 1.1.22 ו 1.1.23 ). כמו במקרה האסוציאטיבי, איבר a הוא הפיך אם יש b כך ש 1 = ba.ab = יחידה + חילוק חילוק יחידה + a l הפיכים יחידה + a l a, r על כל a הפיך l a הפיכים כל l a, r a על יחידה + כל l a על כל a הפיך מימין ומשמאל כל a הפיך מימין כל l a על 21
1.1. מושגי יסוד פרק 1. חוגים ואידיאלים תרגיל (+***) 1.1.87 הוסף חצים נכונים לדיאגרמה, אם יש כאלו, ותן דוגמאות נגדיות המראות שאין גרירות אחרות. תרגיל (**) 1.1.88 תהי D אלגברת חילוק מממד אינסופי מעל השדה F. נבחר העתקה לינארית חד חד ערכית f : D D שאינה על. נגדיר.a b = f(a)b אז ב (,D) אופרטורי הכפל משמאל הפיכים; אבל אופרטורי הכפל מימין אינם כאלה, ולכן (,D) אינה אלגברת חילוק (אפשר לבחור בנוסף = 1 (1)f כדי לשמור על איבר היחידה). תרגיל (+**) 1.1.89 הראה שעבור אלגברות מממד סופי, אם כל l a על, אז A אלגברת חילוק. הסק שהדיאגרמה הקודמת מתכווצת לזו הנתונה לצד התרגיל הזה. הדרכה. תרגיל 1.1.21. חילוק + יחידה כל a הפיך חילוק כל a הפיך מימין ומשמאל כל a הפיך מימין תרגיל (+***) 1.1.90 האם בחוג עם חילוק (עם יחידה) כל איבר הוא הפיך? מה אם נוסיף את ההנחה שהממד מעל המרכז סופי? תרגיל (+**) 1.1.91 [דוגמא: ממד סופי, כל האברים הפיכים, לא אלגברת חילוק]. יהי F שדה. על המרחב הוקטורי A = F + F x + F y נגדיר כפל לפי = 1,xy A הפיך מימין ומשמאל, אבל A הראה שכל איבר של.x 2 = y 2 = 0,yx = 1 אינה אלגברת חילוק. אם = 2,charF הראה שכל אברי A הפיכים, ו A אינה אלגברת חילוק. איזוטופיות יהי A מרחב וקטורי מעל שדה F. שתי פעולות בילינאריות,m m : A A A הן איזוטופיות אם יש העתקות לינאריות הפיכות f, g, h : A A כך ש = y)) h(m (x, g(y)) m(f(x), (זוהי בעצם ''החלפת בסיס'' משולשת, בשתי הכניסות והיציאה של פעולת הכפל). תרגיל (*) 1.1.92 יחס האיזוטופיות הוא יחס שקילות על אוסף פעולות הכפל האפשריות על A. תרגיל (*) 1.1.93 איזוטופיה שבה f = g = h אינה אלא איזומורפיזם. 22
חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. איזוטופיה כללית אינה שומרת על אסוציאטיביות, ולכן הערך שלה בתורת החוגים האסוציאטיבית מוגבל ביותר. עם זאת עבור אלגברות לא אסוציאטיביות יש לה תפקיד מעניין: היא יכולה לייצר אברי יחידה. תרגיל 1.1.94 ( **) תהי (,A) אלגברה לא אסוציאטיבית עם איבר u כך ש l u : x ux הפיך. הראה שהפעולה # המוגדרת לפי u(x#y) = xy מגדירה אלגברה איזוטופית, שבה u יחידה משמאל. הדרכה. (uy) = l 1 l u (y) = y.u#y = l 1 u u תרגיל (**) 1.1.95 (''הטריק של קפלנסקי'') האלגברה A איזוטופית לאלגברה עם יחידה אם ורק אם יש בה אברים,u v כך ש l u, r v הפיכים. אכן, אם,u v A.x y = rv 1 (x)l 1 ו l u, r v הפיכים, אז uv הוא איבר יחידה עבור הפעולה (y) u הדרכה. באלגברה עם יחידה אפשר לבחור = 1 v u, = והאיזוטופיה שומרת על הפיכות של אופרטורי הכפל. x (uv) = ומצד שני ;(uv) y = r 1 v (uv)l 1 u (y) = ul 1 u (y) = l u l 1 בכיוון ההפוך, אם A נתונה אז u (y) = y.r 1 v (x)l 1 u (uv) = rv 1 (x)v = r u rv 1 (x) = x 1.2 אידיאלים וחוגי מנה בסעיף זה נציג את האובייקטים המשחקים תפקיד מרכזי במבנה הפנימי של חוג: אידיאלים חד צדדיים ודו צדדיים, הומומורפיזמים וחוגי מנה. 1.2.1 אידיאלים חד צדדיים ודו צדדיים כדי להבין חוגים טוב יותר, עלינו ללמוד תת קבוצות שהמבנה שלהן קשור לזה של החוג כולו. כל הקבוצות שנלמד הן תת חבורות של החבורה החיבורית. הגדרה 1.2.1 יהי R חוג. תת חבורה חיבורית L R נקראת אידיאל שמאלי אם לכל a L ו ;xa L,x R במקרה זה מסמנים.L l R בדומה לזה L אידיאל ימני אם ax L לכל a L ו R x; מסמנים L. r R אם I אידיאל שמאלי וימני, הוא נקרא אידיאל דו צדדי (או סתם אידיאל), ואז מסמנים.I R תרגיל (*) 1.2.2 הקבוצה {0} היא אידאל של R; זהו האידיאל הטריוויאלי. תרגיל (*) 1.2.3 החוג כולו הוא אידיאל, הנקרא אידיאל לא אמיתי; ראו תת הסעיף ''אידיאלים אמיתיים'' בהמשך. לפעמים המונח אידיאל מתייחס לאידיאל אמיתי דווקא (כלומר, כל אידיאל המוכל ממש בחוג). האידיאלים הדו צדדיים אנלוגיים לתת החבורות הנורמליות של חבורה. קומוטטיבי המושגים אידיאל ימני, שמאלי או דו צדדי מתלכדים. בחוג 23
1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. חוגים ואידיאלים תרגיל (*+) 1.2.4 לכל,a R הקבוצה R} Ra = {xa : x היא אידיאל שמאלי של R. תרגיל (**) 1.2.5 אם L R אידיאל שמאלי, אז לכל,a R גם La אידיאל שמאלי. תרגיל (***) 1.2.6 אידיאל הוא תת קבוצה של R הסגורה לחיבור ולחיסור, וסופגת כפל. הראה שההנחה על סגירות לחיסור אינה נחוצה. האם תכונה זו נכונה גם כאשר R חוג בלי יחידה? הגדרה 1.2.7 אידיאל שמאלי מהצורה Ra נקרא אידיאל ראשי. תרגיל (*) 1.2.8 נניח ש I R אידיאל, ו R S תת חוג המכיל את I. אז.I S תרגיל (**) 1.2.9 נניח ש I R אידיאל, ו R S תת חוג. אז I S אידיאל של.S איחוד וחיתוך תרגיל (**) 1.2.10 תהי Λ משפחה של אידיאלים שמאליים (ימניים, דו צדדיים) של L Λ הוא אידיאל שמאלי (ימני, דו צדדי). הערה. השווה חוג R. הוכח שהחיתוך L לתרגיל 1.1.58. תרגיל (*) 1.2.11 בפרט, אם L 1, L 2 l R אז,L 1 L 2 l R וכך לכל חיתוך סופי. {( )} 0 0 תרגיל (+**) 1.2.12 נתבונן בחוג המטריצות (Q) M. 2 אז {( )} אידיאל ימני. החיתוך שלהם אינו אידיאל. 0 0 שמאלי, ו הוא אידיאל ( ) ( ). R R I R R R R R תרגיל (**) 1.2.13 יהי I R אידיאל בחוג. הראה ש ( R ) = M 2 תרגיל (**) 1.2.14 יהיו I, I R אידיאלים. הראה ש I I אידיאל אם ורק אם.I I או I I תרגיל (**) 1.2.15 הוכח שהאיחוד λ I λ של שרשרת אידיאלים בחוג R (לאו דווקא בת מניה) הוא אידיאל. (השווה לתרגיל 1.3.66, עמ' 44). בפרט, אם 2 I 1 I אידיאלים, אז האיחוד I n הוא אידיאל. 24
חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. קבוצת יוצרים את האידיאל הקטן ביותר המכיל קבוצה X R מסמנים בסימון X (השווה להגדרה 1.1.65). אידיאל זה הוא החיתוך של כל האידיאלים המכילים את X., a = { n תרגיל (***) 1.2.16 יהי.a R הראה ש { R i=1 x iax i : x i, x i כאשר הסכומים כולם סופיים אבל n אינו מוגבל. אידיאל שיש לו קבוצת יוצרים סופית הוא אידיאל נוצר סופית. אידיאלים אמיתיים הגדרה 1.2.17 אידיאל (שמאלי, ימני או דו צדדי) של R נקרא אמיתי אם הוא מוכל ממש ב R. תרגיל (**) 1.2.18 אידיאל שמאלי אמיתי אינו מכיל אף איבר הפיך משמאל. תרגיל (**) 1.2.19 אידיאל (חד או דו צדדי) I הוא אמיתי אם ורק אם I 1. תרגיל (**) 1.2.20 Ra הוא אידיאל שמאלי אמיתי אם ורק אם a אינו הפיך משמאל. תרגיל (**) 1.2.21 נניח ש R קומוטטיבי, ויהי a. R אז a Ra = הוא אידיאל אמיתי אם ורק אם a לא הפיך. תרגיל (**) 1.2.22 בהמשך לתרגיל 1.2.15, הראה שאם כל האידיאלים I λ אמיתיים (ובחוג יש איבר יחידה), אז גם I λ אמיתי. הדרכה. תרגיל 1.2.19. תרגיל (**+) 1.2.23 יהי A 0 חוג בלי יחידה. אם יש a כך ש,A 0 a = aa 0 = A 0 אז A 0 חוג עם יחידה. הדרכה. לפי ההנחה יש e A 0 כך ש a.ae = יהי c. A 0 לפי ההנחה קיים x כך ש xa c; = אבל אז,ce = xae = xa = c והראינו ש e יחידה מימין. באותו אופן יש e כך ש a e, a = ומכיוון שאפשר לכתוב כל c בצורה הוא איבר היחידה של.A 0 e = e יחידה משמאל. לפי תרגיל,1.1.7 e ו e c = c ay = ay = c,c = ay תרגיל (**+) 1.2.24 יהי A 0 תחום בלי יחידה. אם יש a A 0 0 כך ש,a aa 0 אז A 0 תחום עם יחידה. הדרכה. לפי ההנחה יש e A 0 כך ש ae.a = אבל אז,ae 2 = ae ולכן = 0 e).a(e 2 מכיוון ש A 0 תחום, e. 2 = e לפי תרגיל 1.1.37 (עמ' 15), אידמפוטנט בתחום הוא איבר יחידה. תרגיל (+*) 1.2.25 התכונות הבאות שקולות עבור חוג בלי יחידה לא טריוויאלי: 25.a הוא על לכל 0 l a.1
1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. חוגים ואידיאלים 2. אין בחוג אידיאלים ימניים אמיתיים. 3. אין בחוג אידיאלים שמאליים אמיתיים. 4. זהו חוג עם חילוק, עם יחידה. הדרכה. נסמן את החוג ב.A 0 :(2) (1) נניח ש a C r A 0,0 אז A = aa 0 C ולכן.C = A 0 :(1) (2) נסמן 0} = 0.I = {x A 0 : xa אז,I r A 0 ולפי ההנחה יש שתי אפשרויות: אם I = A 0 אז = 0 0 A 2 0 = IA בסתירה להנחה ש A 0 אינו טריוויאלי. מכיוון שאין בחוג אידיאלים ימניים לא טריוויאליים, בהכרח = 0 I. לכן, לכל 0 a,,aa 0 0 אבל זהו אידיאל ימני, ומכאן ש.Im(l a) = aa 0 = A 0 :(4) (1) תרגיל 1.1.23 (עמ'.(13 :(4) (3) תנאי (4) סימטרי להחלפת ימין שמאל, ולכן הגרירה נובעת מ ( 4) (2 ) שכבר הוכחנו. 1.2.2 סכום ומכפלה של אידיאלים סכומים סופיים וכלליים יהי R חוג. הסכום של תת קבוצות,A B R הוא A + B = {a + b : a A, b B}; A = { a : a A}, בדומה לזה מגדירים ו ( B ).A B = A + תרגיל (*) 1.2.26 R A הוא תת חבורה חיבורית אם ורק אם.A+A = A = A תרגיל (**) 1.2.27 יהיו L 1, L 2 R אידיאלים שמאליים (ימניים, דו צדדיים). אז L 1 + L 2 הוא אידיאל שמאלי (ימני, דו צדדי). תרגיל (**) 1.2.28 חיבור קבוצות בחוג הוא אסוציאטיבי וקומוטטיבי: + (B A) +.A + B = B + ו A C = A + (B + C) L Λ מוגדר כאוסף הגדרה 1.2.29 תהי Λ משפחה של אידיאלים שמאליים של R. אז הסכום L הסכומים הסופיים x 1 + + x n עבור.x i L i Λ באלגברה כל הסכומים סופיים. כדי שנוכל לחבר אינסוף קבוצות, יש להניח שכמעט כולן כוללות את אפס כאיבר. תרגיל (**) 1.2.30 הסכום של משפחת אידיאלים הוא איחוד כל הסכומים הסופיים. 26
חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. תרגיל (**) 1.2.31 אם כל L Λ הוא אידיאל שמאלי (ימני, דו צדדי), אז גם L Λ L הוא אידיאל שמאלי (ימני, דו צדדי). דוגמא 1.2.32 סכום של תת חוגים אינו בהכרח תת חוג. למשל, סכומם של תת החוגים 0 0 0 0 0 = 1 S ו 0 = 2 S של (Q) M 3 הוא, שאינו 0 0 0 0 סגור לכפל. מכפלה בתורת החבורות המכפלה של שתי תת קבוצות שווה לקבוצת המכפלות. בתורת החוגים ההגדרה אחרת: המכפלה שווה לאוסף הסכומים הסופיים של מכפלות, משום שרק כך אפשר להבטיח שהמכפלה סגורה לחיבור. הגדרה 1.2.33 המכפלה של קבוצות,A B R מוגדרת כאוסף של סכומים סופיים, A B = {a 1 b 1 + + a n b n : a i A, b i B}. תרגיל (***) 1.2.34 תן דוגמא לאידיאלים,I J R בחוג (קומוטטיבי) R, כך שאוסף המכפלות J} {xy : x I, y אינו סגור לחיבור. תרגיל (**) 1.2.35 כפל קבוצות בחוג הוא פעולה אסוציאטיבית: לכל C,A,B (A+B)C = הכפל גם דיסטריבוטיבי ביחס לחיבור:.(AB)C = A(BC) מתקיים R.A(B + C) = AB + ו AC AC + BC תרגיל (**) 1.2.36 תת חבורה חיבורית L R היא תת חוג אם ורק אם ;LL L אידיאל שמאלי אם ורק אם ;RL L אידיאל ימני אם ורק אם ;LR L אידיאל אם ורק אם.RL + LR L תרגיל (**) 1.2.37 יהיו a, b R אברים בחוג קומוטטיבי.R אז.Ra Rb = Rab במובן זה כפל של אידיאלים ראשיים מכליל את הכפל של איברים בחוג. המכפלה מאפשרת ליצור מאידיאל שמאלי ואידיאל ימני אידיאל דו צדדי: תרגיל (**) 1.2.38 הראה שאם L l R אידיאל שמאלי ו R T r אידיאל ימני, אז.LT R 27 ובפרט:
1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. חוגים ואידיאלים תרגיל (**) 1.2.39 הראה שהמכפלה IJ של שני אידיאלים,I J R היא אידיאל של R. תרגיל (**) 1.2.40 לכל שני אידיאלים.IJ I J,I, J R תרגיל (**) 1.2.41 אם R חוג קומוטטיבי ו S 1, S 2 תת חוגים, אז S 1 S 2 הוא תת חוג. תרגיל (***) 1.2.42 תן דוגמא לחוג (לא קומוטטיבי) R עם שני תת חוגים S 1, S 2 כך שהמכפלה S 1 S 2 אינה תת חוג. הצעה. קח S 1 = F + yr ו Rx S 2 = F + כאשר F שדה ו y R = F,x היא האלגברה החופשית מעליו (הגדרה 1.2.104). נסה למצוא דוגמא שבה ) (F.R = M n תרגיל (**) 1.2.43 יהי R חוג עם מרכז Z(R),Z = ויהי S R תת חוג. הראה ש ZS הוא תת חוג של R. (עובדה זו מוליכה להגדרה 2.4.6.) תרגיל (**) 1.2.44 יהי L l R אידיאל שמאלי; אז לכל קבוצה LA A, הוא אידיאל שמאלי. בפרט, כל קבוצה מהצורה Lx היא אידיאל שמאלי. טענה 1.2.45 יהי I אידיאל של R. אם A הוא תת חוג, אידיאל שמאלי או אידיאל, אז A + I הוא תת חוג, אידיאל שמאלי או אידיאל, בהתאמה. בפרט: תרגיל (+**) 1.2.46 יהיו I R ו R S אידיאל ותת חוג. אז I + S הוא תת חוג של R. סריג האידיאלים הגדרה 1.2.47 קבוצה F עם יחס סדר חלקי נקראת סריג אם לכל שני אברים,x y F יש מינימום לקבוצת האברים הגדולים מ y,x, ומקסימום לקבוצת האברים הגדולים מ y,x. יהי F סריג. את האיבר המינימלי הגדול מ y,x מסמנים x, y ואת המקסימלי בקבוצת האברים הקטנים מהם מסמנים x. y תרגיל (**) 1.2.48 הפעולות הבינאריות, מקיימות את התכונות הבאות:.1 קומוטטיביות:.x y = y x,x y = y x.2 אסוציאטיביות: z).(x y) z = x (y z),(x y) z = x (y 28
חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1..3 ספיגה:.x (x y) = x,x (x y) = x.4 אידמפוטנטיות:.x x = x,x x = x תרגיל 1.2.49 ( **) תכונת האידמפוטנטיות נובעת מתכונת הספיגה. הדרכה. חשב את.x (x (x x)) תרגיל (***) 1.2.50 אם קבוצה F מצויידת בפעולות בינאריות המקיימות את האקסיומות שבתרגיל,1.2.48 אז y'' x אם ורק אם ''x y = x (אם ורק אם x) y = y מגדיר יחס סדר חלש על F, ועבורו x y הוא האיבר המינימלי בין כל האברים הגדולים מ y,x, ו y x האיבר המקסימלי בין הקטנים מ y,x. תרגיל (**) 1.2.51 אוסף תת הקבוצות של קבוצה X, המסודר לפי הכלה, הוא סריג. אוסף האידיאלים של חוג סדור ביחס להכלה. משפט 1.2.52 אוסף האידיאלים של חוג, עם יחס ההכלה, הוא סריג, שבו I J = I + J ו.I J = I J הוכחה. האידיאל הקטן ביותר המכיל את,I J הוא I, + J והאידיאל הגדול ביותר המוכל בשניהם הוא I. J מאפסים הגדרה 1.2.53 אם B R תת קבוצה כלשהי, המאפס השמאלי של B הוא = (B) Ann l.ann r (B) = {x R : Bx = 0} המאפס הימני הוא.{x R : xb = 0} אם R קומוטטיבי שני המושגים מתלכדים כמובן, ואפשר לכתוב.Ann(B) (נחזור לנושא זה בהגדרה 5.1.60.) תרגיל (+*) 1.2.54 לכל תת קבוצה B, המאפס השמאלי (B) Ann l הוא אידיאל שמאלי של R; המאפס הימני (B) Ann r הוא אידיאל ימני. תרגיל (**) 1.2.55 כל מאפס שמאלי שווה למאפס השמאלי של אידיאל ימני כלשהו. תרגיל (+*) 1.2.56 מאפס שמאלי של אידיאל שמאלי הוא אידיאל דו צדדי: אם.Ann l (I) R אידיאל שמאלי, אז I l R 29
1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. חוגים ואידיאלים.1 הראה שאם I J אז (I).Ann l (J) Ann l תרגיל (**+) 1.2.57.2 הראה ש (I)).I Ann r (Ann l.3 הראה שלכל קבוצה.Ann l (Ann r (Ann l (B))) = Ann l (B),B R תרגיל (**) 1.2.58 (J).Ann l (I + J) = Ann l (I) Ann l תרגיל (+**) 1.2.59 יהי R חוג קומוטטיבי. לכל שני אידיאלים,I, A R נסמן (A : I) = {x R : Ix A}. יהיו.I, J, A, B, C R.(A : I)I A הוא אידיאל. זהו האידיאל הגדול ביותר המקיים (A : I).1 בפרט I).A (A :.(0 : I) = Ann(I).2.3 מונוטוניות: אם I J אז I) (A : J) (A : ו ( A.(I : A) (J : m I d I m I ו = m I.4 הפעולות m I (A) = IA ו ( I d I (A) = (A : מקיימות.d I m I d I = d I.(B : C)(A : B) (A : C).5.A(B : I) (AB : I).6.((A : B) : C) = (A : BC).7.I (A : (A : I)).8.(A : I) (AB : IB).9.(A : I + J) = (A : I) (A : J).10 תרגיל (**) 1.2.60 יהי L l R אידיאל שמאלי. הראה שהמאדל L} L = {x R : Lx הוא תת החוג הגדול ביותר של R שבו L הוא אידיאל דו צדדי. 1 Lb L l ואיבר,b R נסמן = 1 תרגיל (**) 1.2.61 לכל אידיאל שמאלי R.(b מגדירים כאן את 1 (איננו {x : xb L} 30
חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. 1. הראה ש Lb ו 1 Lb הם אידיאלים שמאליים..2 נניח ש L Lb (כלומר L,b ראה תרגיל.(1.2.60 אז,Lb 1 b = L Rb,Lbb 1 = L + 0b 1 Lbb 1 b = Lb Lb 1 b L Lbb 1 Lb 1 = Lb 1 bb 1, ואלו כל האידיאלים שאפשר לקבל מ L על ידי הפעלת האופרטורים L Lb ו 1 Lb L לסירוגין. 1.2.3 חוגי מנה יהי R חוג. לכל תת חבורה I של החבורה החיבורית, חבורת המנה R/I הכוללת את כל הקוסטים I} a + I = {a + x : x היא אכן חבורה. השאלה היא מתי פעולת הכפל של נציגים מוגדרת היטב, ומתי אוסף הקוסטים הוא חוג. תרגיל (**) 1.2.62 פעולת הכפל (a + I)(b + I) = ab + I מוגדרת היטב (כלומר, בלתי תלויה בנציגים), אם ורק אם.I R תרגיל (**) 1.2.63 נניח ש I R. אז R/I עם הפעולות לפי נציגים הוא חוג, שבו איבר היחידה הוא + I 1. 1.2.4 הומומורפיזמים הומומורפיזם הוא פונקציה בין מבנים, השומרת על הפעולות (ועל היחסים והקבועים, כשיש כאלה). הגדרה 1.2.64 יהיו,R S חוגים. הומומורפיזם של חוגים הוא פונקציה φ : R S השומרת על החיבור והכפל, כלומר, מקיימת φ(y) φ(x + y) = φ(x) + ו ( φ(x)φ(y,φ(xy) = ומקיימת בנוסף את התנאי.φ(1 R ) = 1 S (ראו הכללה בהגדרה (.1.2.67 יש סוגי הומומורפיזם שקיבלו שמות מיוחדים: הגדרה 1.2.65 הומומורפיזם R S נקרא אפימורפיזם או הטלה אם הוא על; מונומורפיזם או שיכון אם הוא חד חד ערכי; איזומורפיזם אם הוא חד חד ערכי ועל. הגדרה 1.2.66 הומומורפיזם מחוג לעצמו,,R R נקרא אנדומורפיזם; ואם הוא חד חד ערכי ועל, אוטומורפיזם. כל המונחים האלה מקובלים גם בתורת החבורות. 31
1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. חוגים ואידיאלים הומומורפיזמים של חוגים בלי יחידה הגדרה 1.2.67 יהיו R, S חוגים בלי יחידה. פונקציה φ : R S המקיימת + φ(x) φ(x + y) = φ(y) ו ( φ(x)φ(y φ(xy) = נקראת הומומורפיזם של חוגים בלי יחידה. כלומר, הומומורפיזם של חוגים בלי יחידה אינו נדרש לקיים את התנאי 1)φ. R ) = 1 S אכן, אם R או S הם חוגים בלי יחידה, אין מנוס מלדבר על הומומורפיזמים כאלה. תרגיל (**) 1.2.68 יהיו R, S חוגים. הפונקציה R S המוגדרת לפי = 0 φ(x) לכל x R היא הומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, אבל אינה הומומורפיזם. לפעמים הומומורפיזם של חוגים בלי יחידה מוכרח בכל זאת להיות הומומורפיזם של חוגים: תרגיל (**) 1.2.69 אם R חוג (עם יחידה) ו φ : R S אפימורפיזם של חוגים בלי יחידה, אז S חוג עם יחידה ו φ הוא אפימורפיזם של חוגים. תרגיל 1.2.70 ( ***) אם R חוג עם יחידה ו φ : R S הומומורפיזם, 0,φ ובנוסף S תחום (הגדרה 1.1.34), אז S חוג עם יחידה ו 1)φ. R ) = 1 S (הדרכה. הראה ש φ(1 R ) 2 x = φ(1 R )x לכל.(x S תרגיל (**) 1.2.71 מצא את כל ההומומורפיזמים של חוגים בלי יחידה,Z Z ואת כל אלה מביניהם שהם הומומורפיזמים של חוגים. הגרעין והתמונה לכל הומומורפיזם מתלווים שני מבנים מוכרים: הגדרה 1.2.72 יהי φ : R S הומומורפיזם של חוגים (עם יחידה או בלעדיה). התמונה של φ היא.Ker(φ) = {x : φ(x) = 0} הוא φ הגרעין של.Im(φ) = {φ(x) : x S} תרגיל (**) 1.2.73 התמונה של הומומורפיזם R S היא תת חוג של S, והגרעין הוא אידיאל של R. לכן כל הומומורפיזם הוא על התמונה של עצמו. לכל מונומורפיזם φ φ, : R S היא איזומורפיזם בין R לבין התמונה,Im(φ) שהיא תת חוג של S. לכן אפשר לראות ב R תת חוג של S, וזו הסיבה לכך שמונומורפיזם נקרא גם שיכון. לפעמים מסמנים שיכון R S בסימן.R S תרגיל 1.2.74 ( **) φ : R S הוא חד חד ערכי אם ורק אם = 0.Ker(φ) 32
חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. לפי תרגיל 1.2.73 כל גרעין הוא אידיאל; גם ההיפך נכון - כל אידיאל הוא גרעין של הומומורפיזם: תרגיל (+**) 1.2.75 יהי I R אידיאל. הראה שהפונקציה θ : R R/I המוגדרת לפי θ(a) = a + I היא אפימורפיזם. אפימורפיזם זה נקרא ההטלה הקנונית ביחס ל I. תרגיל (**) 1.2.76 יהי R חוג בלי יחידה. הגדר R 1 = Z R עם החיבור לפי רכיבים והכפל xy).(n, x)(m, y) = (nm, ny + mx + הוכח ש R ˆ חוג עם יחידה, וש ( x x,0) הוא שיכון של חוגים בלי יחידה.R R 1 כלומר, כל חוג בלי יחידה אפשר לשכן בחוג עם יחידה. תרגיל 1.2.77 ( ***) בהמשך לתרגיל 1.2.76, תאר את האידיאלים של Rˆ. כהכללה של תרגיל 1.2.73, מתקיימת התכונה הבאה: תרגיל (**) 1.2.78 יהי φ : R S הומומורפיזם. לכל,I S המקור = (I) φ 1.R הוא אידיאל של {x R : φ(x) I} תרגיל (**) 1.2.79 אם φ : R S על, אז לכל אידיאל I R גם.φ(I) S ובכל זאת, באופן כללי תמונת אידיאל אינה בהכרח אידיאל: תרגיל 1.2.80 ( ***) תן דוגמא לכך שהתמונה של אידיאל אינה בהכרח אידיאל. חוגים איזומורפיים כמו בתורת החבורות (ובכל מבנה מתמטי אחר), איזומורפיזם הוא פונקציה חד חד ערכית ועל בין מבנים, השומרת על הפעולות (ועל היחסים והקבועים, כשיש כאלה). הגדרה 1.2.81 יהיו R,R חוגים. איזומורפיזם של חוגים הוא פונקציה חד חד ערכית ועל R R φ : השומרת על החיבור והכפל, כלומר, מקיימת φ(x)+φ(y) φ(x+y) = ו ( φ(x)φ(y,φ(xy) = ומקיימת בנוסף את התנאי R.φ(1 R ) = 1 (ראו הגדרה 1.2.64.) תרגיל (**) 1.2.82 יהי R R φ : איזומורפיזם של חוגים. הראה שהפונקציה ההפוכה φ 1 : R R גם היא איזומורפיזם. 33
1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. חוגים ואידיאלים חוגים שיש ביניהם איזומורפיזם הם חוגים איזומורפיים. האיזומורפיזם מאפשר לתרגם כל טענה אלמנטרית מחוג אחד לרעהו, ולכן כשהחוגים איזומורפיים חושבים עליהם כאילו הם למעשה אותו חוג. בבעיות תאורטיות מעוניינים במיון של חוגים עד כדי איזומורפיזם, ולא מעבר לכך, משום שלכל חוג אפשר להצמיד באופן מלאכותי מחלקה שלמה של חוגים איזומורפיים: {ω} R = R לכל איבר ω של הקבוצה האוניברסלית. כדי להראות שחוגים אינם איזומורפיים די להצביע על תכונה שבה הם שונים: חוג קומוטטיבי אינו יכול להיות איזומורפי לחוג לא קומוטטיבי, וכן הלאה. ההוכחה שחוגים מסויימים הם כן איזומורפיים עשויה לדרוש הכרה טובה של שני החוגים, וטכניקות מגוונות. 1.2.5 משפטי האיזומורפיזם משפטי האיזומורפיזם של חוגים דומים לאלו של חבורות. משפט 1.2.83 (משפט האיזומורפיזם הראשון) לכל הומומורפיזם של חוגים ϕ, : R S חוג המנה R/Ker(ϕ) איזומורפי ל ( Im(ϕ. תרגיל (**) 1.2.84 יהי I R אידיאל. הראה ש ( I ) M n אידיאל של (R) M, n וש.M n (R)/M n (I) = M n (R/I).Z n תרגיל (**) 1.2.85 הראה ש Z/nZ = תרגיל (**+) 1.2.86 נסמן 1 =.i הוכח:.Z[i]/ 2 + i = Z[i]/ 2 i = Z/5Z משפט 1.2.87 (משפט האיזומורפיזם השני) אם I R אידיאל ו S R תת חוג, אז: S + I תת חוג של R (זהו תרגיל 1.2.46), I אידיאל שלו (תרגיל 1.2.8), I S אידיאל של S (תרגיל 1.2.9), ומתקיים S/S I = (S + I)/I. תרגיל (**) 1.2.88 יהיו φ : R S הומומורפיזם ו I S. לפי תרגיל,1.2.78 = I.R/I = (Im(φ) + I)/I הראה ש S/I.φ 1 (I) R תרגיל (**) 1.2.89 יהיו R φ : R שיכון ו R.I אם I = I R אז יש שיכון.R/I R /I משפט 1.2.90 (משפט האיזומורפיזם השלישי) אם I J אידיאלים של R, אז J/I אידיאל של,R/I ו.(R/I)/(J/I) = R/J 34
חוגים ואידיאלים 1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. טענה 1.2.91 כל הומומורפיזם הוא הרכבה של שיכון, איזומורפיזם, והטלה. הוכחה. יהי φ : R S הומומורפיזם. נסמן Ker(φ) K, = ואז R R/K הטלה ו שווה ל φ. R R/K = Im(φ) S שיכון, וההרכבה R/K = Im(φ) S תרגיל (**) 1.2.92 יהיו R חוג ו I R אידיאל שלו. אז לכל אידיאל I, A R I A R עבור α = A/I הוא מהצורה α R/I ולהיפך, כל אידיאל ;A/I R מתאים x).(a = x α תרגיל 1.2.92 מאפשר לסכם את משפטי האיזומורפיזם במשפט מרכזי על אידיאלים: משפט 1.2.93 (משפט ההתאמה) יהי I אידיאל של חוג R. ההתאמה A A/I היא איזומורפיזם של סריגים מאוסף R שמכילים את I, אל אוסף האידיאלים של.R/I ההתאמה שומרת הכלה, חיבור, כפל וחיתוך, ומנות. תת החוג היסודי תרגיל (**) 1.2.94 לכל חוג R קיים הומומורפיזם יחיד.Z R התמונה של Z ב R היא תת חוג, הנקרא תת החוג היסודי של R. (תת החוג היסודי נקרא בדרך כלל ''תת החוג הראשוני'', אלא שהקשר בינו לבין חוג ראשוני שיוגדר בהמשך רופף למדי, והעדפנו לשנות את הטרמינולוגיה המקובלת.) תרגיל (**) 1.2.95 לפי משפט 1.3.2 לגרעין של Z R יש הצורה,nZ לאיזשהו n טבעי. הראה ש n הוא המאפיין של R. תרגיל (**) 1.2.96 יהי R חוג שהמאפיין שלו n. הראה ש Z n (איזומורפי ל)תת חוג של R. תת חוג זה נקרא תת החוג היסודי של R. אם R נוצר סופית מעל תת החוג היסודי שלו (הגדרה 1.1.65), אומרים שהוא נוצר סופית. הומומורפיזם ויוצרים תרגיל (*) 1.2.97 יהיו R, S חוגים, R 0 R תת חוג, ו R S φ : הומומורפיזם. הצמצום φ 0 : R 0 S של φ מ R ל,R 0 המוגדר לפי φ(c) φ 0 (c) = (לכל,(c R 0 הוא הומומורפיזם. R φ S φ 7 7777777 0 R 0 הגדרה 1.2.98 יהיו R 0 R ו S חוגים, ויהיו φ : R S ו S φ 0 : R 0 הומומורפיזמים. אומרים ש φ מרחיב את φ 0 אם φ 0 הוא הצמצום של φ אל R. 0 35
1.2. אידיאלים וחוגי מנה פרק 1. חוגים ואידיאלים תרגיל (**+) 1.2.99 יהי R 0 תת חוג של.R נניח ש [ X ] R = R 0 כאשר.X R הראה שאם לשני הומומורפיזמים R S אותו צמצום ל R 0 והם מסכימים על אברי X, אז הם שווים. תרגיל (**) 1.2.100 יהי φ : R S הומומורפיזם, ויהי R[x] חוג הפולינומים במשתנה אחד מעל R. הראה שלכל איבר a במרכז (Im(φ)) C S קיים הומומורפיזם יחיד φ : R[x] S המרחיב את φ ומקיים φ(x) = a. כאשר φ שיכון, זהו ''הומומורפיזם ההצבה''.x a תרגיל (**) 1.2.101 אם R נוצר על ידי איבר אחד מעל תת חוג מרכזי R, 0 אז R. 0 [x] הוא חוג מנה של חוג הפולינומים R תרגיל (**) 1.2.102 כל חוג קומוטטיבי נוצר סופית מעל פולינומים ] n.r 0 [λ 1,..., λ R 0 הוא מנה של חוג תרגיל (***) 1.2.103 (בהמשך לתרגיל 1.2.100) תן דוגמא לחוג R עם תת חוג R 0 ואיבר,t R כך ש [ t ] R = R 0 (כלומר, R נוצר מעל R 0 על ידי ;t הוא אינו בהכרח חוג פולינומים), עם חוג S והומומורפיזם φ, : R S עם איבר a, S כך שלא קיים הומומורפיזם המרחיב את φ ומעביר את t ל a. החוג החופשי בסעיף זה נספק הכללה לתרגיל 1.2.101. תהי X קבוצה של סמלים. המונויד החופשי מעל X הוא האוסף F X של מלים,x 1,..., x n X,x 1 x n עם פעולת ההדבקה. המלה הריקה היא האיבר הנייטרלי של המונויד. הגדרה 1.2.104 יהי R 0 חוג. החוג החופשי הנוצר על ידי X מעל R 0 הוא אוסף כל הביטויים הפורמליים α i w i כאשר α i R 0 ו,w i F X עם פעולות החיבור והכפל הטבעיות; כמו בחוג הפולינומים, הסקלרים מ R 0 מתחלפים עם כל איבר של X. את החוג החופשי מסמנים ב X R. 0 דוגמא 1.2.105 אם {x} X = קבוצה בת איבר אחד, X R 0 אינו אלא חוג הפולינומים.R 0 [x] אם y} X = {x, אז X R 0 כולל ביטויים כמו.x yxx + 3xy שלא כמו בחוג הפולינומים בשני משתנים, בחוג הזה.xy yx תרגיל 1.2.106 ( ***) יהי φ : R 0 S הומומורפיזם, ויהי R X החוג החופשי הנוצר על ידי הקבוצה X מעל.R 0 הראה שלכל פונקציה (Im(φ)) f : X C S קיים הומומורפיזם יחיד φ : R X S כך ש ( φ(c φ(c) = לכל,c R ו ( f(x φ(x) = לכל.x X תרגיל 1.2.107 ( ***) כל חוג S הנוצר סופית מעל R 0 הוא מנה של חוג חופשי n,r 0 x 1,..., x ל n כלשהו. הערה. אם,φ : R 0 x 1,..., x n S כל קבוצת יוצרים של Ker(φ) (כאידיאל) נקראת קבוצת יחסים עבור S. 36